Теория Вероятности В Excel
Даны определения Функции распределения случайной величины и Плотности вероятности непрерывной случайной величины. Эти понятия активно используются в статьях о статистике сайта. Рассмотрены примеры вычисления Функции распределения и Плотности вероятности с помощью функций MS EXCEL. Введем базовые понятия статистики, без которых невозможно объяснить более сложные понятия.
Генеральная совокупность и случайная величина Пусть у нас имеется генеральная совокупность (population) из N объектов, каждому из которых присуще определенное значение некоторой числовой характеристики Х. Примером генеральной совокупности (ГС) может служить совокупность весов однотипных деталей, которые производятся станком. Поскольку в математической статистике, любой вывод делается только на основании характеристики Х (абстрагируясь от самих объектов), то с этой точки зрения генеральная совокупность представляет собой N чисел, среди которых, в общем случае, могут быть и одинаковые.
Сегодня мы рассмотрим основное понятие теории вероятности, научимся решать задачи. Формулы и таблицы в Excel - это просто Видеоуроки kopirka-ekb.ru - Duration: 20:08. Видеоуроки kopirka-ekb.ru 572,615 views 20:08.
В нашем примере, ГС - это просто числовой массив значений весов деталей. Х – вес одной из деталей. Если из заданной ГС мы выбираем случайным образом один объект, имеющей характеристику Х, то величина Х является случайной величиной. По определению, любая случайная величина имеет функцию распределения, которая обычно обозначается F(x). Функция распределения Функцией распределения вероятностей случайной величины Х называют функцию F(x), значение которой в точке х равно вероятности события X. Дискретные распределения Если случайная величина может принимать только определенные значения и количество таких значений конечно, то соответствующее распределение называется дискретным.
Например, при бросании монеты, имеется только 2 элементарных исхода, и, соответственно, случайная величина может принимать только 2 значения. Например, 0 (выпала решка) и 1 (не выпала решка) (см. Если монета симметричная, то вероятность каждого исхода равна 1/2. При бросании кубика случайная величина принимает значения от 1 до 6. Вероятность каждого исхода равна 1/6. Сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины равна 1. Примечание: В MS EXCEL имеется несколько функций, позволяющих вычислить вероятности дискретных случайных величин.
Совместные События
Перечень этих функций приведен в статье. Непрерывные распределения и плотность вероятности В случае непрерывного распределения случайная величина может принимать любые значения из интервала, в котором она определена. Количество таких значений бесконечно велико, то мы не можем, как в случае дискретной величины, сопоставить каждому значению случайной величины ненулевую вероятность (т.е. Вероятность попадания в любую точку (заданную до опыта) для непрерывной случайной величины равна нулю). В противном случае сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины будет равна бесконечности, а не 1. Выходом из этой ситуации является введение так называемой функции плотности распределения p(x). Чтобы найти вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (а; b), необходимо найти приращение функции распределения на этом интервале: Как видно из формулы выше плотность распределения р(х) представляет собой производную функции распределения F(x), т.е.
Р(х) = F’(x). Типичный график функции плотности распределения для непрерывной случайно величины приведен на картинке ниже (зеленая кривая): Примечание: В MS EXCEL имеется несколько функций, позволяющих вычислить вероятности непрерывных случайных величин. Перечень этих функций приведен в статье. В литературе Функция плотности распределения непрерывной случайной величины может называться: Плотность вероятности, Плотность распределения, англ. Probability Density Function (PDF).
Чтобы все усложнить, термин Распределение (в литературе на английском языке - Probability Distribution Function или просто Distribution ) в зависимости от контекста может относиться как Интегральной функции распределения, так и кее Плотности распределения. Из определения функции плотности распределения следует, что p(х)=0. Следовательно, плотность вероятности для непрерывной величины может быть, в отличие от Функции распределения, больше 1. Например, для, распределенной на интервале 0; 0,5 плотность вероятности равна 1/(0,5-0)=2.
А для с параметром лямбда=5, значение плотности вероятности в точке х=0,05 равно 3,894. Но, при этом можно убедиться, что вероятность на любом интервале будет, как обычно, от 0 до 1. Напомним, что плотность распределения является производной от функции распределения, т.е. «скоростью» ее изменения: p(x)=(F(x2)-F(x1))/Dx при Dx стремящемся к 0, где Dx=x2-x1. Тот факт, что плотность распределения 1 означает лишь, что функция распределения растет достаточно быстро (это очевидно на примере ). Примечание: Площадь, целиком заключенная под всей кривой, изображающей плотность распределения, равна 1. Примечание: Напомним, что функцию распределения F(x) называют в функциях MS EXCEL интегральной функцией распределения.
Этот термин присутствует в параметрах функций, например в НОРМ.РАСП(x; среднее; стандартноеоткл; интегральная). Если функция MS EXCEL должна вернуть Функцию распределения, то параметр интегральная, д.б. Установлен ИСТИНА. Если требуется вычислить плотность вероятности, то параметр интегральная, д.б.
Примечание: Для дискретного распределения вероятность случайной величине принять некое значение также часто называется плотностью вероятности (англ. Probability mass function (pmf)). В справке MS EXCEL плотность вероятности может называть даже 'функция вероятностной меры' (см. Функцию БИНОМ.РАСП). Вычисление плотности вероятности с использованием функций MS EXCEL Понятно, что чтобы вычислить плотность вероятности для определенного значения случайной величины, нужно знать ее распределение. Найдем плотность вероятности для N(0;1) при x=2.
Для этого необходимо записать формулу =НОРМ.СТ.РАСП(2;ЛОЖЬ)=0,054 или =НОРМ.РАСП(2;0;1;ЛОЖЬ). Напомним, что вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение x равна 0. Для непрерывной случайной величины Х можно вычислить только вероятность события, что Х примет значение, заключенное в интервале (а; b). Вычисление вероятностей с использованием функций MS EXCEL 1) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по (см. Картинку выше), приняла положительное значение. Согласно свойству Функции распределения вероятность равна F(+∞)-F(0)=1-0,5=0,5.
В MS EXCEL для нахождения этой вероятности используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(9,999E+307;ИСТИНА) -НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) =1-0,5. Вместо +∞ в формулу введено значение 9,999E+307= 9,999.10^307, которое является максимальным числом, которое можно ввести в ячейку MS EXCEL (так сказать, наиболее близкое к +∞). 2) Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению, приняла отрицательное значение. Согласно определения Функции распределения, вероятность равна F(0)=0,5. В MS EXCEL для нахождения этой вероятности используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА) =0,5.
3) Найдем вероятность того, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению, примет значение, заключенное в интервале (0; 1). Вероятность равна F(1)-F(0), т.е. Из вероятности выбрать Х из интервала (-∞;1) нужно вычесть вероятность выбрать Х из интервала (-∞;0). В MS EXCEL используйте формулу =НОРМ.СТ.РАСП(1;ИСТИНА) - НОРМ.СТ.РАСП(0;ИСТИНА). Все расчеты, приведенные выше, относятся к случайной величине, распределенной по стандартному нормальному закону N(0;1).
Понятно, что значения вероятностей зависят от конкретного распределения. В статье приведены распределения, для которых в MS EXCEL имеются соответствующие функции, позволяющие вычислить вероятности. Обратная функция распределения (Inverse Distribution Function) Вспомним задачу из предыдущего раздела: Найдем вероятность, что случайная величина, распределенная по стандартному нормальному распределению, приняла отрицательное значение. Вероятность этого события равна 0,5. Теперь решим обратную задачу: определим х, для которого вероятность, того что случайная величина Х примет значение.
Для случайных событий при вычислении их вероятности используются формулы полной вероятности и Байеса. Они не столь сложны в понимании и вычислении, и приведенный ниже теоретический и практический материал поможет Вам быстро его изучить. Пусть в условиях эксперимента событие появляется совместно с одним из группы несовместных событий (гипотез), образующих полную группу, известны или можно установить априорные вероятности каждой из гипотез и условные вероятности события при условии, что осуществилась та или иная гипотеза, тогда вероятность события определяется по формуле полной вероятности: где – вероятность гипотезы; – условная вероятность события при выполнении гипотезы. Приведенная формула называется формулой полной вероятности.
Задача 1. В магазине три холодильника в которых заканчивается мороженое.
В словарь вошли также статьи, посвященные известным экономистам. Особое внимание уделено четкости и простоте толкований каждого термина. Финансовый словарь pdf. Словарь включает около 2500 наиболее часто употребляемых терминов современной экономики.
В первом 4 белых и 6 шоколадных, во втором - 2 белых и 8 шоколадных, в третьем - 3 белых и 7 шоколадных. Наугад выбирают холодильник и вынимают из него мороженое. Определить вероятность того, что оно белое. Обозначим события следующим образом: – выбрано - й холодильник, – выбрано белое мороженое Тогда имеем: Вероятности, что из каждого холодильника можно извлечь белое мороженое будут равны Используя формулу полной вероятности находим: Таким образом вероятность вытащить белое мороженое равна 0,3 или 30%.
Задача 2. В офисе есть четыре ноутбука изготовленных компанией, 6 компанией, 8 компанией и два, которые производит. Гарантии, что ноутбуки этих компаний будут работать в течение гарантийного срока без ремонта составляют 70%, 80%, 85%, и 55% для каждой из них.
Нужно найти вероятность, что выбранный ноутбук будет работать без ремонта в течение гарантийного срока. Обозначим события следующим образом: – выбрано ноутбук компании, – ноутбук проработает без ремонта. Вероятности выбора ноутбука каждой из компаний считаем равносильными их количеству, на основе этого вероятности примут значения: Вероятности, что они будут работать без ремонта равны Здесь мы просто переводим проценты в вероятность. Применяем формулу полной вероятности: Вероятность безремонтной работы ноутбука равна 0,775.
ФОРМУЛА БАЙЕСА Пусть события образуют полную группу несовместных событий ( ) и пусть событие происходит обязательно с одним из них. Предположим событие произошло, тогда вероятность того, что оно произошла именно с определяется формулой: Рассмотрим практическую сторону применения формулы Байеса - Задача 3. Заданны условия первой задачи. Нужно установить вероятность того, что мороженое извлекли из второго холодильника. Выпишем результаты первой задачи, необходимые для вычислений и подставим в формулу Байеса Как можно видеть, вычисления по формуле несложные, главное понять, что и как определяется. Задача 4. Для задачи 2 нужно установить вероятность того, что исправный ноутбук принадлежит к компаниям,.
Выпишем предварительно найдены вероятности и проведем вычисления по формуле Байеса - Задача 5. На склад поступают телефоны трех заводов, причем доля телефонов первого завода составляет 25%, второго - 60%, третьего - 15%.
Известно также, что средний процент телефонов без брака для первой фабрики составляет 2%, второй - 4%, третьей - 1%. Найти вероятность того, что: а) наугад взят телефон окажется с браком; б) телефон изготовлен на первом заводе, если он бракованный; в) на каком заводе скорее был изготовлен телефон, если он сделан качественно? А) Введем для ясности обозначения: – наугад выбранный телефон оказался бракованным; Предположение: – телефон изготовлен на первой, – второй и –третий фабрике соответственно. Собития попарно несовместимы и образуют полную группу. Вероятность каждого предположения определяем делением процентной доли продукции ко всей (100%) Подобным образом определяем условные вероятности события Применим формулу полной вероятности для определения возможности выбора бракованного телефона б) для отыскания вероятности применим формулу Байеса в) чтобы определить, на каком заводе скорее был изготовлен рабочий телефон необходимо сравнить между собой вероятности предположений: где событие (вытащили телефон без брака) противоположна. Для противоположных событий используют формулу По подобной формуле определяем условные вероятности события, если только справедливы предположения По формуле Байеса находим вероятности Наибольшую вероятность имеет второе предположение, поэтому телефон скорее всего был изготовлен на втором заводе.
Теория Вероятности В Excel
Задач на нахождение полной вероятности и применения формулы Байеса в литературе и интернете множество. Стоит ввести в гугле нужный запрос и вам тут же будет предложено множество материалов к выбору. Поэтому освоить данный материал не трудно, стоит лишь внимательно (без паники) разобраться с приведенными примерами и подобными. Все остальные решаются по аналогичной схеме.